Стационарные точки и метод Лагранжа (ru)
2025-07-06
При анализе функции мы ищем стационарные точки. Без ограничений используем градиент — вектор частных производных:
$$ \nabla f = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2} \\ \dots \\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix} $$Пример: $f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 4x - 4y + z^4 - 4z^2$. Градиент:
$$ \nabla f = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - 4 \\ 2y - 4 \\ 4z^3 - 8z \end{pmatrix} $$Приравниваем к нулю: $\nabla f = 0$, получаем систему:
$$ \begin{cases}2x - 4 = 0 \\ 2y - 4 = 0 \\ 4z^3 - 8z = 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x = 2\\ y = 2 \\ \left[ \begin{array}{l} z = 0 \\ z = \sqrt{2} \\ z = -\sqrt{2} \end{array} \right.\end{cases} $$Стационарные точки: $(2, 2, 0), \ (2, 2, \sqrt{2}), \ (2, 2, -\sqrt{2})$.
Для дальнейшего анализа используйте матрицу Гессе.
Для задач с ограничениями применяем метод множителей Лагранжа. Пример: $f(x, y) = x^2 + y^2$ при условии $x + y = 1$. Перепишем ограничение как $g(x, y) = x + y - 1 = 0$. Градиенты:
$$ \nabla f = \begin{pmatrix}2x \\ 2y\end{pmatrix}, \quad \nabla g = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} $$Уравнения Лагранжа в общем виде:
$$ \begin{cases} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1} = \lambda \frac{\partial g}{\partial x_1} \\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_2} = \lambda \frac{\partial g}{\partial x_2} \\ \quad \dots \\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_n} = \lambda \frac{\partial g}{\partial x_n} \\ g(x_1, x_2, \dots x_n) = 0 \end{cases} $$Для нашего случая:
$$ \begin{cases}2x = \lambda \cdot 1\\2y = \lambda \cdot 1\\x + y = 1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}\lambda = 2x\\\lambda = 2y\\x + y = 1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x = y\\2x = 1\end{cases}\quad \Rightarrow \quad x = y = \frac{1}{2} $$Стационарная точка: $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$. Итог: без ограничений решаем $\nabla f = 0$, с ограничениями — метод Лагранжа.```
Thanks for reading!
I'd love to hear your comments on the email.