Прямая и плоскость (ru)

2025-06-28

math

Линейная алгебра начинается с базовой геометрической интуиции, которая распространяется на многомерные пространства. Сейчас мы поговорим о прямой, плоскости и пространстве.

Прямая на плоскости и в пространстве

Как задать прямую на плоскости? Конечно, через две точки. Но это не всё. Существуют ещё три метода:

1. Параметрическое уравнение
   Пусть прямая $l$ задана двумя точками $r_0 = (x_0; y_0)$ и $r_1 = (x_1;y_1)$. Заметим, что вектор $a = r_0 - r_1$ направлен вдоль $l$. Следовательно, любая точка на $l$ может быть определена как $r = r_0 + ta$, где $t \in \mathbb{R}$, а вся прямая $l$ задаётся при $-\infty < t < \infty$. Это выражение мы называем параметрическим уравнением:
   

   $$ l = \{r: r = r_o + at, \ t \in \mathbb{R} \} $$

2. Линейное уравнение
   Запишем параметрическое уравнение через координаты:
   

   $$ \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}t \cdot a_1 \\ t \cdot a_2\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases}x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2\end{cases} $$

   Предположим, что $a_1 \neq 0$ и $a_2 \neq 0$, и выразим $t$ из каждого уравнения: $\frac{x - x_0}{a_1} = \frac{y - y_0}{a_2} \Rightarrow a_2x - a_1y + (a_1y_0 - a_2x_0) = 0$. Поскольку $a_1, a_2, x_0, x_1$ — числа, это означает, что мы можем определить его как линейное уравнение:
   

   $$ Ax + By + C = 0 $$

   где $A = a_2$, $B = -a_1$, $C = (a_1y_0 - a_2x_0)$

3. Нормаль и точка
   Последний метод. Выберем произвольную точку на прямой $l$ с радиус-вектором $r_0$. Проведём вектор $n$ из точки $r_0$, перпендикулярный прямой $l$. Тогда для любой точки $r$ на прямой $l$ векторы $r - r_0$ и $n$ будут перпендикулярны. Перепишем это через скалярное произведение:
   

   $$ l = \{ r: \langle r - r_0;n\rangle = 0\} $$

   Разумеется, $r_0$ может быть любой точкой на прямой $l$, а нормальный вектор $n$ — любым вектором, перпендикулярным прямой $l$. Чтобы найти нормаль к прямой, нам нужен направляющий вектор $a = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix}$ из параметрического уравнения, тогда нормальный вектор будет: $n = \begin{bmatrix}-a_2\\ a_1\end{bmatrix}$ или $n’ = -n = \begin{bmatrix} a_2 \\ -a_1\end{bmatrix}$

Подведём итог и посмотрим на взаимосвязь между этими методами. Если прямая проходит через две точки $r_0 = (x_0; y_0)$ и $r_1 = (x_1; y_1)$, то её можно определить любым из трёх методов:

• Параметрическое уравнение:
  $$ r = r_0 + ta = \begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix}x_1 - x_0 \\ y_1 - y_0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}t \cdot a_1 \\ t \cdot a_2\end{bmatrix} $$
• Линейное уравнение:
  $$ Ax + By + C = \underbrace{a_2}_{A} x + \underbrace{(-a_1)}_{B} y + \underbrace{(a_1 y_0 - a_2 x_0)}_{C} = 0; $$
• Нормаль и точка:
  $$ \langle r - r_0; n\rangle = \left\langle \begin{bmatrix}x - x_0\\y - y_0\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}a_1 \\ -a_1\end{bmatrix}\right\rangle = \left\langle\begin{bmatrix}x - x_0 \\ y - y_0\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}A \\ B\end{bmatrix} \right\rangle $$

Как насчёт прямой в пространстве? Параметрическое уравнение не меняется, векторы становятся длиннее. Линейное уравнение изменится: теперь это не одно уравнение, а система двух уравнений:

Метод с нормалью и точкой не работает в пространстве!

Дополнение: рассмотрим расстояние от точки до прямой:

Мы можем определить, где находится точка относительно прямой: группа точек с одной стороны, для которых верно $Ax +By + C > 0$; группа с другой стороны, для которых верно $Ax +By + C < 0$.

Плоскость в пространстве

Снова этот вопрос. Как задать плоскость в пространстве? Конечно, через три неколлинеарные точки, не лежащие на одной прямой. Коллинеарные точки лежат на одной прямой. И снова рассмотрим три метода:

1. Параметрическое уравнение:
   $$ \pi = \{r: r = r_0 + t_1v_1 + t_2v_2, \quad t_1, t_2 \in \mathbb{R}\} $$
2. Нормаль и точка: такой же, как для прямой: $\langle r - r_0; n\rangle = 0$
3. Линейное уравнение: начнём от нормали и точки и развернём его:
   $$ \langle r - r_0; n\rangle = 0 \quad \Rightarrow \quad \underbrace{n_1}_{A} x\ + \ \underbrace{n_2}_{B} y\ + \ \underbrace{n_3}_{C} z \ \underbrace{- \langle r_0 ;n\rangle}_{D} = 0. \ \Rightarrow \ Ax + By + Cz + D = 0 $$

Посмотрим на взаимосвязь между этими методами:

• Чтобы переписать параметрическое уравнение в нормаль и точку, нужно найти нормальный вектор из системы уравнений: $\begin{cases}\langle n; v_1\rangle = 0 \\ \langle n; v_2\rangle = 0\end{cases}$
• Чтобы переписать форму нормали и точки в линейное уравнение, мы можем использовать: $A = n_1$, $B = n_2$, $C = n_3$, $D = -\langle n ;r_0\rangle$
• Если у нас есть три точки, определяющие плоскость, мы можем перейти к параметрическому уравнению: $\begin{array}a v_1 = r_1 - r_0\\ v_2 = r_2 - r_0\end{array}$

Проекцией точки $P$ на плоскость $\pi$ называется точка $P_\pi \in \pi$, ближайшая к точке $P$: $P_\pi = \arg{\min{||P - X||}}, \ X \in \pi$. Тогда расстояние от точки $P$ до плоскости $\pi$ будет $d(P, \pi)$ — расстояние между точкой $P$ и её проекцией $P_\pi$:

Определение расположения точки относительно плоскости такое же, как для прямой.