Матрица Гессе (ru)
2025-07-05
Предположим, у нас есть функция и несколько её стационарных точек, которые нужно классифицировать (максимум, минимум, седловая точка). Для функции без ограничений используем матрицу Гессе.
Как найти стационарные точки, читайте в статье: «Стационарные точки и метод Лагранжа»
Разберём на примере. Функция и стационарные точки:
$$ f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy; \quad A = (0; 0), \ B = (1; 1) $$Сначала построим матрицу Гессе. В общем виде она выглядит так:
$$ H_f(x) = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix} $$Для нашей функции: $H = \begin{bmatrix}6x & -3 \\-3 & 6y\end{bmatrix}$. Подставим точки в матрицу и найдём собственные значения:
$$ \begin{align} &H_A = \begin{bmatrix}0 & -3 \\ -3 & 0\end{bmatrix} &&H_B = \begin{bmatrix}6 & -3 \\ -3 & 6\end{bmatrix} \\[1em] &\det(H_A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 0 - \lambda & -3 \\ -3 & 0 - \lambda \end{bmatrix} = &&\det(H_B - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 6 - \lambda & -3 \\ -3 & 6 - \lambda \end{bmatrix} = \\ &= (-\lambda)(-\lambda) - (-3)(-3) = \lambda^2 - 9 = 0 \ \Rightarrow \quad \quad \quad \quad &&= (6-\lambda)^2 - 9 = 0 \ \Rightarrow \\[1em] &\Rightarrow \ \lambda^2 = 9 \ \Rightarrow \ \lambda = \pm 3 \ \Rightarrow &&\Rightarrow \ (6-\lambda)^2 = 9 \ \Rightarrow \ 6 - \lambda = \pm 3 \ \Rightarrow \\[1em] &\Rightarrow \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = -3 &&\Rightarrow \lambda_1 = 6 - 3 = 3, \quad \lambda_2 = 6 + 3 = 9 \end{align} $$Применяем правила:
- Если все собственные значения положительны — локальный минимум
- Если все отрицательны — локальный максимум
- Если знаки разные — седловая точка
Результат: точка $A$ — седловая, точка $B$ — локальный минимум.```
Thanks for reading!
I'd love to hear your comments on the email.